APLICACIONES DE LA DERIVADA CAJA ABIERTA

APLICACIONES DE LA DERIVADA

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Una de las aplicaciones más comunes del cálculo consiste en hallar máximos y mínimos. Piense cuan a menudo oímos o leemos términos  como máximo beneficio, mínimo coste, mínimo tiempo, voltaje máximo, tamaño  óptimo, área mínima, máxima intensidad o distancia máxima.

Pues bien, debemos hacer uso de las derivadas, pero antes vamos a  repasar el procedimiento para resolver problemas aplicados de máximos y mínimos.

1.    Asignar símbolos a todas las cantidades  dadas y a las cantidades a determinar. Si es posible, hágase un dibujo esquemático.

2.    Escribir una ecuación primaria para la magnitud que se desea hacer máxima o mínima.

3.    Reducir la ecuación primaria a otra que tenga una sola variable independiente. Esto puede exigir el uso de ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria.

4.    Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, aquellos valores para los que el problema propuesto tenga sentido.

5.    Hallar el valor máximo o mínimo por medio de las técnicas de derivación.

a.    Nota: al efectuar el paso 5, recuérdese que para determinar  el máximo o el mínimo de una función continua f sobre un intervalo cerrado, comparamos los valores de f en sus extremos relativos  con sus valores en los puntos terminales del intervalo.

APLICACIONES DE LA DERIVADA

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

EJEMPLO 1

Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Qué dimensiones producirán una caja  de volumen máximo?

SOLUCION
    Como la caja tiene base cuadrada, su volumen es:

                      V = X²  h      ecuación primaria

Además, como está abierta por su parte superior, su área es:

S = (área  de la base)  + (área de los cuatro laterales)

S =  X² + 4Xh = 108            ecuación segunda

Ya que deseamos maximizar V, la expresaremos como función de una  sola variable. Para ello, despejamos h en:   108 =  X² + 4Xh en términos de x, es decir

   Evaluando V en los puntos críticos del dominio y en los puntos terminales del dominio, vemos que

        V (0) = 0,        V (6) = 108,         

Concluimos  que V es máximo cuando x=6, es decir para una caja de  dimensiones  6x6x3.